我的孩子被同学推倒胳膊骨折了，第三方赔偿了

可以起诉。依据《民法典》等，推倒致伤需承担赔偿责任。不及时处理可能导致权益受损，如赔偿不到位、证据丢失等。
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常见处理方式有协商、报警、起诉。优先协商，协商不成再报警或起诉，根据伤害程度和对方态度选择。
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可以起诉。操作如下：1.收集证据，如医疗记录、证人证言；2.尝试与对方协商赔偿；3.协商无果，报警并做笔录；4.必要时，向法院提起诉讼，要求赔偿各项费用。